Problemi curiosi

E' difficile separare la matematica dai problemi, anzi per qualcuno è proprio nell'esigenza dell'uomo di risolvere problemi che sta la sua origine e la sua ragion d'essere. Come del resto è comune associare il concetto di problema a quello di calcolo. Eppure non è sempre così; problema significa spesso strategia e comprensione delle condizioni sottese; la fase del calcolo, quando è possibile applicarla, è spesso il momento di sintesi, la sua formalizzazione.

In questa sezione verranno presentati alcuni problemi (la maggior parte classici) che hanno la caratteristica di permettere, attraverso la loro risoluzione, di "fare" della matematica, coinvolgendo spesso, al di là dell'apparenza, questioni matematiche o logiche non banali.

Per avere la soluzione dei problemi, ti basterà cliccare sul titolo o sul numero con cui il problema è indicato. Buon divertimento.

Il problema dei cappelli

E' un classico problema di induzione sul finito. Supponi che tre persone siano sedute su tre sedie in fila indiana (ognuno vede solo quelli, o quello, che gli stanno davanti; le sedie sono numerate in modo progressivo e la sedia n°1 è occupata dall’unico che vede gli altri due, mentre la sedia n°3 da colui che non vede nessuno degli altri due). Sono portati 5 cappelli: 3 bianchi e 2 neri. Le tre persone sono bendate e sulle loro teste viene messo uno dei 5 cappelli. Successivamente sono tolte le bende e viene chiesto a ciascuno di dire il colore del proprio cappello (ognuno vede il colore di quelli, o di quello, che gli stanno davanti, ma non il proprio, ovviamente). Alla domanda il n°1 risponde: “Non lo so”; anche il n°2 risponde “Non lo so”. Il n°3, al proprio turno di risposta, risponde “Sì, so il colore del mio cappello”. Di che colore è il cappello del n°3? Quale ragionamento ha fatto per scoprirlo? E’ possibile stabilire il colore dei cappelli delle altre due persone? Generalizza il problema con un numero n qualunque di persone e con n cappelli bianchi e n-1 cappelli neri, stabilendo in particolare come deve mettere i cappelli il conduttore del gioco (colui cioè che pone i cappelli sulle teste delle persone) affinché solo il numero n individui il proprio colore.

Il monaco tibetano

Un monaco tibetano abita alle pendici di un monte sulla cui sommità è posto un monastero in cui

tutti i mesi il monaco va a pregare. Un’unica strada, lunga 34,6 km porta dalla casa del monaco al monastero. Il giorno adibito alla preghiera, il monaco parte sempre alle otto di mattina, percorre la strada facendo anche alcune soste per riposare o pregare; a volte corre preso dalla frenesia, ma arriva sempre puntuale alle otto di sera, ora d’apertura del monastero. Prega tutta notte e riparte per il ritorno alle otto del mattino seguente. La stanchezza e le tappe obbligate lungo il tragitto lo fanno arrivare a casa esattamente alle otto di sera, nonostante la strada in discesa.

Dimostra che esiste un punto lungo il tragitto in cui il monaco passa alla stessa ora sia all’andata sia al ritorno.

Un problema di aritmetica....semantica

A casa di un noto matematico, Loga Ritmo, abitante in via Verdi 36, si presenta un addetto del comune per dei rilevamenti statistici. Alla domanda sul numero dei figli e sulle loro età il signor Ritmo risponde:

‘Ho tre figli e, caso strano, il prodotto delle loro età coincide col numero civico della mia abitazione, mentre la somma delle loro età è uguale al numero civico della casa difronte’.

L’addetto, prestandosi al gioco, dopo alcuni conti chiede nuove informazioni. Il signor Ritmo aggiunge allora, sorridendo, che per rispondere bastava sapere che il figlio maggiore ha gli occhi azzurri.

Quali sono le età dei tre figli?”

PROBLEMI VARI DI LOGICA DEDUTTIVA

ESERCIZIO SVOLTO. Ci sono problemi di carattere logico che risulta in genere piuttosto arduo risolvere. La difficoltà, spesso, è data dall’incapacità di tradurli in un modo operativo. In alcuni casi ciò è possibile attraverso la costruzione di tavole di verità associate a particolari proposizioni. Consideriamo come esempio il seguente quesito, tratto da quella fonte pressoché inesauribile di problemi di questo tipo costituito dal libro “QUAL E’ IL TITOLO DI QUESTO LIBRO” di R. Smullyan, da cui è tratto il problema proposto come esercizio svolto e gli esercizi 1)-22).

Per una loro gestione, può essere utile consultare il testo ‘Logica e ….’

In un’isola ci sono due tipi di persone: i furfanti (mentono sempre) e i cavalieri (dicono sempre la verità). Su un’isola di questo tipo corre voce che vi sia sepolto dell’oro. Voi arrivate su quest’isola e chiedete ad uno dei nativi, A, se c’è oro su quest’isola. Egli dà la seguente risposta: ‘Sull’isola c’è oro se e solo se io sono un cavaliere’. Stabilisci:

a) si può determinare se A è un cavaliere o un furfante?

b) si può determinare se c’è oro sull’isola?

Indicando con O la proposizione ‘sull’isola c’è oro’ e con C(a) la proposizione ‘A è un cavaliere’, la risposta fornita si formalizza con la fbf O«C(a), la cui tavola di verità è la seguente:

O	«	C(a)
0	1	0
0	0	1
1	0	0
1	1	1

Come leggere la tavola di verità in relazione al problema? Poiché i cavalieri dicono il vero e i furfanti mentono, il valore di verità relativo alla formula atomica C(a) deve coincidere con quello del connettivo « (cioè se l’interlocutore è un cavaliere la proposizione dev’essere vera; viceversa se è un furfante) e questo succede solo in corrispondenza delle ultime due righe. Non è possibile stabilire quindi se stiamo parlando con un cavaliere o con un furfante, ma è certo che sull’isola c’è dell’oro.

1) Supponiamo che, nel caso del problema precedente, tu abbia chiesto ad A: “L’affermazione che tu sei un cavaliere è equivalente all’affermazione che c’è oro su quest’isola?”. Se avesse risposto “Sì” il problema si sarebbe ridotto al precedente. Supponiamo che abbia risposto “No”. Si potrebbe allora dire se c’è oro sull’isola?

  2) Supponiamo che una persona, di cui non si sa se è un cavaliere o un furfante, faccia le seguenti affermazioni:

a) Io amo Linda;

b) Se amo Linda allora amo Kathy.

E’ un cavaliere o un furfante?

(Suggerimento: formalizzando con L la a) e con L®K la b), costruisci la tavola di verità di L...L®K, dopo aver stabilito il connettivo da mettere al posto dei puntini)

3) Supponiamo che qualcuno mi chieda: ”E’ proprio vero che se tu ami Betty allora ami anche Jane?”. Io rispondo: ”Se è vero, allora amo Betty”. Ne segue che amo Betty? Ne segue che amo Jane?  

4) Supponiamo che le due seguenti proposizioni siano vere:

a) Io amo Betty o amo Jane.

b) Se amo Betty allora amo Jane.

Ne segue necessariamente che io amo Betty?

Ne segue necessariamente che io amo Jane?

5) Abbiamo due persone, A e B, ognuna delle quali è un cavaliere o un furfante. Supponiamo che A faccia la seguente affermazione: “Se io sono un cavaliere, allora lo è anche B”. Si può determinare che cosa sono A e B?

  6) Qualcuno chiede ad A: ”Siete un cavaliere?”. Egli risponde: “Se sono un cavaliere, allora mi mangerò il cappello!”.

Dimostrare che A deve mangiarsi il cappello.

7) A dice: “Se io sono un cavaliere, due più due fa cinque”. Che cosa concludi?

8) A dice: “O io sono un furfante oppure due più due fa cinque”. Che cosa concludi?

9) Ci sono due persone A e B, cavalieri o furfanti. A dice: “Se B è un cavaliere, io sono un furfante”. Che cosa sono A e B?

10) Supponiamo che A dica: “O io sono un furfante o B è un cavaliere”. Che cosa sono A e B?

11) Supponiamo che A dica: “Io sono un furfante, ma B non lo è”. Che cosa sono A e B?

12) Una volta, quando visitai l’isola dei cavalieri e dei furfanti, mi imbattei in due abitanti che riposavano sotto un albero. Chiesi a uno di loro: “Uno di voi due è un cavaliere?” Egli rispose e seppi la risposta alla mia domanda. Cos’è la persona a cui feci la domanda? E che cos’è l’altro?

13) Ci sono tre persone A, B, C ognuna delle quali è un cavaliere o un furfante. A e B fanno le seguenti affermazioni:

A: Siamo tutti furfanti.

B: Solo uno di noi è un cavaliere.

Che cosa sono A, B e C?

14) Supponiamo invece che A e B facciano le seguenti affermazioni:

A: Siamo tutti furfanti.

B: Solo uno di noi è un furfante.

Si può determinare che cos’è B? Si può determinare che cos’è C?

15) Due individui X e Y sono processati per aver partecipato ad un furto. A e B sono testimoni e ognuno di essi è un cavaliere o un furfante. I testimoni fanno le seguenti dichiarazioni:

A: Se X è colpevole lo è anche Y.

B: O X è innocente o Y è colpevole.

A e B sono necessariamente dello stesso tipo? (ambedue cavalieri o ambedue furfanti)

16) Sull’isola dei furfanti e dei cavalieri, tre abitanti A,B, C sono intervistati. A e B fanno le seguenti affermazioni:

A: B è un cavaliere.

B: Se A è un cavaliere lo è anche C.

Si può determinare che cosa sono A, B e C?

Alcuni problemi di deduzione:

17) Ci sono tre ragazze: Susanna , Marzia e Diana. Supponiamo che siano vere le seguenti affermazioni:

a) Io amo almeno una delle tre ragazze.

b) Se amo Susanna ma non Diana, allora amo anche Marzia.

c) O io amo sia Diana che Marzia, o nessuna delle due.

d) Se amo Diana, allora amo anche Susanna.

Quali ragazze amo?

18) Supponiamo che vi siano due isole vicine, ognuna delle quali abitata esclusivamente da cavalieri e furfanti. Ti è detto che in una delle due isole c’è un numero pari di cavalieri e che nell’altra isola essi sono in numero dispari. Ti viene anche detto che c’è oro nell’isola contenente un numero pari di cavalieri, ma che non c’è oro nell’altra isola. Scegli a caso una delle due isole e ci vai. Tutti gli abitanti sanno quanti cavalieri e quanti furfanti vivono nell’isola. Interroghi tre abitanti A, B e C ed essi fanno le seguenti dichiarazioni:

A: Su quest’isola c’è un numero pari di furfanti.

B: In questo momento c’è un numero dispari di persone sull’isola.

C: Io sono un cavaliere se e solo se A e B sono dello stesso tipo.

Supponendo che tu non sia né un cavaliere né un furfante e che al momento tu sia l’unico visitatore dell’isola, c’è oro o no sull’isola?

19) Un uomo era processato per furto. Il pubblico ministero e l’avvocato difensore fecero le seguenti affermazioni:

Pubblico Ministero: ‘Se l’imputato è colpevole, allora ebbe un complice’.

Avvocato difensore: ‘Non è vero!’

L’uomo fu condannato. Perché?

20) Tre uomini A, B e C furono processati per furto. Furono accertati i seguenti fatti:

a) se A è innocente o B è colpevole, allora C è colpevole;

b) se A è innocente, allora C è innocente.

Si può stabilire per ognuno dei tre se è colpevole o innocente?

21) In questo caso sono coinvolti quattro imputati A, B, C e D. Furono accertati i seguenti fatti:

a) se A è colpevole, allora B fu suo complice;

b) se B è colpevole, allora o C fu suo complice oppure A è innocente;

c) se D è innocente, allora A è colpevole e C è innocente;

d) se D è colpevole, lo è anche A

Chi è colpevole e chi innocente?

22) “Che cosa riesce a dedurre da questi fatti?” chiese l’ispettore Craig al sergente McPherson.

a) se A è colpevole e B innocente, allora C è colpevole;

b) C non lavora mai da solo;

c) A non lavora mai con C;

d) nessun altro tranne A, B e C era implicato e almeno uno di essi era colpevole.

Il sergente si grattò la testa e disse : “Non molto, temo. Lei riesce a dedurre da questi fatti chi è innocente e chi colpevole?”

“No” rispose Craig, “ma c’è materiale sufficiente per incriminare con certezza uno di essi”.

Di chi si può affermare che è colpevole senza sbagliare?

23) Supponi di avere quattro carte, due coperte e due scoperte. Sulle due scoperte c’è il cinque di picche e il quattro di quadri; le due coperte presentano un dorso blu ed un dorso rosso. Quante e quali carte devi girare per stabilire se l’affermazione “Se una carta ha il dorso blu è dispari” è vera?

24) ‘Uno è bugiardo’ disse Cucciolo.

   ‘Due sono i bugiardi’ disse Brontolo.

   ‘Tre sono i bugiardi’ disse Eolo.

   ‘Quattro sono i bugiardi’ disse Mammolo.

    ‘Cinque sono i bugiardi’ disse Pisolo.

    ‘Sei sono i bugiardi’ disse Dotto.

    ‘Sette sono i bugiardi’ disse Gongolo.

    ‘Otto sono i bugiardi’ disse Biancaneve.

Chi dice la verità?

25) Quattro persone A, B, C, e D fanno le seguenti coppie di affermazioni. Una delle due è vera, mentre l’altra è falsa:

A: “Io sono un rospo trasformato in principe. Almeno tre di noi sono rospi”

B: “Due di noi sono rospi. Io sono un principe”

C: “Io sono un principe. D mente sempre”

D: “Solo uno di noi è un rospo. Io sono un rospo trasformato in principe”

Ci sono rospi? Chi sono?

26) Lewis Carroll, l’autore di ‘Alice nel paese delle maraviglie’, era anche un illustre logico. Quella che segue è una sequenza di frasi da lui inventata da cui si deve trarre una conclusione che discenda da tutte:

a) Gli unici animali di questa casa sono gatti

(NB. Nel testo originale si parla di felini, con qualche difficoltà per la correttezza della deduzione).

b) Ogni animale che ami guardare la luna è addomesticato.

c) Quando io detesto un animale lo evito.

d) Nessun animale è carnivoro, a meno che non vada in giro di notte.

e) Nessun gatto si astiene dall’uccidere i topi.

f) Nessun animale mi appartiene eccetto quelli che sono in questa casa.

g) I canguri non sono addomesticabili.

h) Nessun animale, eccettuati i carnivori, uccide i topi.

i) Io detesto gli animali che non mi appartengono.

l) Gli animali che vanno in giro di notte amano sempre guardare la luna.

Qual è la conclusione?

27) Ti potrà capitare, andando in paesi esotici, di imbatterti in tribù poco comprensive nei confronti di chi invade a loro insaputa il loro territorio. Una di queste tribù, che ritiene sacro il proprio habitat, per preservarlo condanna a morte chiunque lo violi, lasciando però al condannato la scelta se essere immolato al Dio della menzogna o al Dio della verità. Nel primo caso il malcapitato dovrà dire una bugia, nel secondo caso una verità. Quale risposta dovresti dare per salvarti nel caso ti imbattessi in questa tribù?

28) Nella tribù vicina a quella citata nel problema precedente si preferisce andare sul sicuro, pur lasciando agli usurpatori una parvenza di speranza. Ai prigionieri sono presentate due arance perfettamente uguali all’esterno, ma una con la polpa bianca, l’altra con la polpa rossa. Se il prigioniero sceglie l’arancia con la polpa rossa è sacrificato al Dio che protegge il territorio, se sceglie quella con la polpa bianca viene liberato. Apparentemente la vita è affidata al caso; ma lo stregone, appunto per non correre rischi, porta sempre al prigioniero due arance con la polpa rossa. Ora lo sai: se quindi malauguratamente invadi il territorio di quella tribù, come potresti fare per salvarti sicuramente? (ricorda, a scanso d’equivoci, che lo stregone è sacro e che mettere in discussione la sua autorità, ad esempio tagliando le due arance per smascherarlo, è ancor più grave che oltrepassare i loro confini).

29) Durante una cena quattro amici A, B, C e D discutono, come al solito, di politica:

“Alcuni politici sono disonesti, ma non tutti” sostiene A.

“Sicuramente esiste un politico onesto” sostiene B.

“Vi garantisco che sono tutti disonesti” sostiene C.

“E tu che cosa ne pensi?” chiesero a D.

“Non ho abbastanza esperienza in fatto di politica e di politici per rispondere. So solo che delle tre affermazioni che avete fatto due possono essere entrambe vere, ma non entrambe false; viceversa due possono essere entrambe false, ma non entrambe vere”.

Sapresti dire anche tu quali sono queste due coppie di affermazioni?

Per concludere propongo due problemi tuttora aperti dell’aritmetica, cioè asserzioni di cui sino ad ora non si è ancora trovata o una dimostrazione o un controesempio che li confuti:

1) Ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi (congettura di Goldbach)

2) Esistono numeri perfetti dispari (un numero è perfetto se e solo se è uguale alla somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso); sino ad ora si sono trovati solo numeri perfetti pari.

Soluzioni

Il problema dei cappelli

Il n°3 ragiona in questo modo: “Se il n°1 avesse visto due cappelli neri avrebbe dedotto che il suo è bianco; ha quindi visto o due cappelli bianchi o un bianco ed un nero. Se il n°2 avesse visto sulla mia testa un cappello nero avrebbe dedotto che il suo è bianco, dall’impossibilità del n°1 di dedurre il colore del suo cappello; poiché anche il n°2 non è riuscito a dedurre il colore del suo cappello, posso concludere che il mio cappello è bianco”. Per gli altri due, invece, non c’è modo di stabilire il colore del proprio cappello.

Prima di proseguire nella lettura, prova a generalizzare il problema, se non l’hai già fatto.

Innanzi tutto una considerazione sulla disposizione dei cappelli: per poter indovinare il colore del proprio cappello (che può essere solo bianco!) una persona deve vedere davanti a sé solo cappelli neri (prova a fare qualche esempio con una disposizione qualunque di cappelli su un numero di 4 o 5 persone), dopo di che il tipo di ragionamento è analogo e si riferisce al tipo di configurazione che deve vedere la k-esima persona per potersi salvare. Se quindi il conduttore del gioco (colui che pone i cappelli sulle varie teste) vuole che solo l’ultimo possa stabilire il colore del suo cappello non deve mettere, da un certo punto in poi, solo cappelli neri.

Il tipo di ragionamento proposto sfrutta in fondo un’induzione sul finito e proprio per questo un’induzione particolare: l’ultimo della fila arriva a stabilire il colore del proprio cappello dal fatto che ciascuno di quelli che lo precedono non riesce a farlo. In sostanza la proprietà “Non conosco il colore del mio cappello” che vale per la prima persona della successione e se vale per la persona k-esima vale anche per la persona k+1-esima, vale per tutte tranne che per l’ultima persona della fila. D’altra parte il fatto di avere un numero finito di elementi impedisce che proprio tutti godano della stessa proprietà (se la fila fosse formata da infinite persone nessuno riuscirebbe a dedurre il colore del proprio cappello), rendendo anomalo proprio l’ultimo, l’unico cioè che non ha un successore che possa godere della sua stessa proprietà. In questo caso l’induzione sul finito presenta un’anomalia rispetto a quella ”normale”, se si pensa al principio d’induzione come ad una fila di buste ciascuna delle quali contenente l’istruzione “Apri la busta successiva, leggine l’ordine ed eseguilo” (il paragone è di Hugo Steinhaus). L’elemento senza successore non può avere questa possibilità per cui, per l’ultimo elemento l’istruzione (o se si vuole la proprietà) deve cambiare.

Un’ultima osservazione sul principio d’induzione. Al di là di questa anomalie, è possibile fare anche induzioni sul finito, quando la verifica ‘diretta’ di una proprietà (possibile, trattandosi di un numero limitato di elementi) risulta comunque scomoda o necessita di una generalizzazione. Questo inoltre farebbe pensare ad un contesto più “reale”, visto che la realtà è appunto “al finito”. Attento però a non confondere l’induzione matematica, frutto di un ragionamento (come nel caso del problema dei cappelli), con un’induzione empirica, frutto dell’osservazione di un’esperienza la cui ripetitività  per un certo numero di prove non garantisce, in assoluto, il successo all’ennesima prova. Per chiarirci, vediamo due esempi. L’affermazione “Il 10 gennaio 2100 sorgerà il sole” ha un’alta probabilità di verità, pensando al gran numero di albe passate che possano giustificare la verità di tale affermazione, anche se nulla toglie che una cometa gigante (come vuole la mitologia di Immanuel Velikovsky) faccia fermare la rotazione della Terra e rimanere il Sole ancora su Giberon. Più esplicita, sui rischi dell’induzione empirica, è questa storiella: un tacchino osservò che tutte le mattine un uomo gli portava il mangime. Cambiò la stagione e l’uomo continuò a portargli il mangime. Un giorno nevicò e ciò nonostante l’uomo gli portò il mangime. Dopo varie prove di questo tipo in diverse condizioni di tempo in cui l’uomo gli aveva portato il mangime, il tacchino concluse che l’uomo gli avrebbe sempre portato il mangime. Il giorno dopo l’uomo lo prese e gli tirò il collo.

Queste considerazioni non devono però far rigettare, in assoluto, un metodo (quello appunto dell’induzione empirica) la cui utilità e i cui risultati hanno ampiamente confermato, anche in campo matematico, la legittimità di certe applicazioni: pensa ad esempio ai processi di estrapolazione tipici di certe indagini di mercato o di certe analisi statistiche, in cui, pur avendo a che fare con un insieme finito, problemi di costi impediscono un’indagine nominale. Tutto questo per dire dell’esigenza, come in tutte le cose, di guardare agli strumenti della matematica in modo critico quando li si applica, valutandone le potenzialità ed i limiti per evitare di far ‘loro dire’ cose che non le attengono.

Il problema del monaco tibetano.

I dati veramente essenziali per la risoluzione del problema sono i due orari, di partenza e d’arrivo; o meglio è essenziale che tali orari, sia per l’andata sia per il ritorno, coincidano. Una soluzione immediata si ottiene pensando che i monaci siano due, come se si sovrapponessero due filmati, di cui uno parte alle otto del mattino da casa e l’altro alla stessa ora dal monastero: è ovvio che, prima o poi devono incontrarsi se alle otto di sera devono essere nel posto da cui era partito l’altro. Un’altra soluzione, più formale, si ottiene considerando le funzioni s=f(t) e s=g(t) che forniscono, in funzione del tempo, la distanza del monaco ad esempio da casa sua rispettivamente all’andata e al ritorno. Tali funzioni sono definite sull’intervallo [8,20] e sono ivi continue. Inoltre f(8)=0, f(20)=34,6 km, g(8)=34,6 km e g(20)=0. Se consideriamo la funzione y=f(t)-g(t), puoi osservare che y(8)<0, mentre y(20)>0; per il teorema degli zeri (non costruttivo!) esiste un valore t_oÎ]8,20[ tale che f(t_o)-g(t_o)=0, cioè f(t_o)=g(t_o). Tale valore, però non è determinabile.

Il problema del signor Loga Ritmo.

Come accennato nel testo, in questo caso l’ambito semantico fornisce quelle condizioni che sembrano mancare per risolvere il problema. Innanzi tutto determiniamo il dominio della soluzione, individuato dalle terne di numeri che fattorizzano 36. Queste sono otto:

(1,1,36), (1,2,18), (1,3,12), (1,4,9), (1,6,6), (2,2,9), (2,3,6), (3,3,4).

Poiché i numeri civici su lati opposti di una via sono di diversa parità, la somma delle età dei figli è dispari e solo quattro tra le fattorizzazioni precedenti è formata da numeri la cui somma sia dispari: (1,2,18), (2,3,6), (1,6,6) e (2,2,9). Il fatto che ci sia un figlio maggiore esclude la terna (1,6,6), mentre l’asserzione che tale informazione basta esclude le terne (1,2,18) e (2,3,6). Quindi la soluzione è fornita dalla terna (2,2,9).

Osserva inoltre che anche l’informazione sulla somma delle età dispari poteva essere omessa: bastava affermare che, nota tale somma all’addetto (ad esempio, Loga Ritmo avrebbe potuto dire “La somma delle loro età coincide con la data, giorno del mese, odierna”), con l’informazione sul figlio maggiore era riuscito a trovare la soluzione. Se tale somma non fosse stata dispari, sarebbe stato impossibile, con i dati forniti, trovare l’età dei tre figli.

Problemi Vari di logica deduttiva

1) In questo caso occorre confrontare la terza colonna con la seconda negata. Anche in questo caso non si riesce a stabilire con chi si parla, ma si scopre che non c’è oro sull’isola.

2) Costruendo la tavola di verità della congiunzione delle due affermazioni ci si accorge che l’unico caso possibile è che siano entrambe vere, per cui l’interlocutore è un cavaliere.

3) Costruisci la tavola di verità della fbf (B®J)®B (con ovvio significato dei simboli) e considera le (due) righe in cui la fbf risulta vera. In entrambe queste righe, B risulta vera, mentre J risulta una volta vera ed una falsa. Quindi amo Betty, mentre nulla si può dire su Jane.

4) Costruisci la tavola di verità della fbf (BÚJ)Ù(B®J) e considera le righe in cui la fbf risulta vera. In entrambi i casi J risulta vera, mentre B una volta vera ed una falsa. Quindi amo Jane mentre nulla si può dire di Betty.

5) Considera la fbf C(a)®C(b) dove C(a) sta per ‘A è un cavaliere’ e C(b) per ‘B è un cavaliere’ e costruiscine la tavola di verità. Se A è un cavaliere, la fbf deve essere vera quando C(a) è vera, mentre deve essere falsa quando C(a) è falsa; questo secondo caso non si verifica mai, mentre per il primo si ha solo un’opportunità. Quindi A e B sono cavalieri.

6) Analogo al precedente; tutte le affermazioni che cominciano con “Se sono un cavaliere...” sono fatte effettivamente da un cavaliere e sono perciò vere, come pure il conseguente.

7) Concludi che l’autore ha preso un’insolazione: una tale affermazione non potrà mai essere fatta per quanto detto nella risposta precedente.

8) E’ equivalente a quella dell’esercizio precedente.

9) Indicato con C(a) ‘io (A) sono un cavaliere’, considera la tavola di verità della fbf C(b)®ØC(a) e cerca le righe in cui la fbf e C(a) sono entrambi veri o entrambi falsi. Si verifica solo il primo caso in corrispondenza del quale si osserva che B è un furfante (C(b) è falsa).

10) Equivalente alla frase dell’esercizio 5.

11) Costruisci la tavola di verità della fbf ØC(a)ÙC(b); devono coincidere i valori di verità della fbf con quelli di C(a). L’unico caso che si presenta porta a concludere che A e B sono furfanti.

12) Costruisci la tavola di verità di C(a)ÚC(b). Supponiamo che la domanda sia stata rivolta ad A (è indifferente). Se A risponde sì può essere un cavaliere (e B cavaliere o furfante) o un furfante (e B furfante). Queste eventualità corrispondono a tre righe della tavola di verità e comportano possibilità che impediscono di conoscere la risposta alla domanda. Poiché tale risposta è nota, A deve aver risposto ‘No’ e quindi A è un furfante e B un cavaliere (quarto caso della tavola di verità).

13) A è un furfante (un cavaliere non potrebbe mai fare un’affermazione così) e quindi non tutti sono furfanti. Se B fosse un furfante, allora sarebbero tutti furfanti (cosa esclusa in precedenza) o ci sarebbero due cavalieri (non tre, poiché A è un furfante, come detto). Ma allora B dovrebbe essere un cavaliere, contro l’ipotesi che sia un furfante. Quindi B è un cavaliere (l’unico) e C un furfante.

14) A è un furfante, come prima. B potrebbe essere un cavaliere o un furfante (verificalo!), ma C è senz’altro cavaliere (in entrambi i casi).

15) Le due frasi sono equivalenti, quindi A e B sono dello stesso tipo.

16) Costruisci la tavola di verità di B: C(a)®C(c) corrispondente all’affermazione di B. Occorre cercare una riga in cui C(a) e B assumono lo stesso valore (se A è un furfante anche B lo è). L’unico caso è quello in cui C(a) è vero e B è vera, per cui sono tutti e tre cavalieri.

17) Amo tutte e tre le ragazze. Infatti se non amassi Diana non amerei neppure Marzia (c) e quindi amerei Susanna (a). Ma se amo Susanna e non amo Diana allora amerei Marzia (b) e questo è assurdo. Quindi amo sia Diana che Marzia e per la premessa (d) amo anche Susanna.

Questa, al di là delle apparenze, non è una dimostrazione per assurdo. il presupposto da cui parte è che se ho una premessa disgiuntiva si deve verificare una delle due condizioni (in questo caso non è possibile che si verifichino entrambe): se non è possibile che se ne verifichi una, deve verificarsi l’altra. Fatta in modo formale la dimostrazione risulterebbe piuttosto complessa.

18) Come visto in precedenza tutte le frasi del tipo “se io sono un cavaliere...”sono vere e dette da cavalieri quindi C è un cavaliere. A e B sono quindi o entrambi cavalieri o entrambi furfanti. Nell’affermazione di B, qualunque cosa lui sia, occorre tenere presente che tra le persone sull’isola ci sei anche tu (che non sei né cavaliere né furfante). Se B è un furfante i cavalieri più i furfanti sono in numero dispari sull’isola (mente, quindi le persone presenti sono in numero pari; tolto tu ne rimangono un numero dispari); anche A mente, quindi i furfanti sono in numero dispari, per cui i cavalieri sono in numero pari. Alla stessa conclusione si perviene anche nel caso si suppongano A e B cavalieri (prova!) per cui sull’isola c’è dell’oro.

19) La negazione dell’affermazione del Pubblico Ministero è equivalente ad affermare che l’imputato è colpevole e non aveva complici. L’avvocato difensore, in seguito, dovette cambiare mestiere per mancanza di clienti.

20) Le premesse sono (indicando con C(x) la proposizione ‘x è colpevole’):

a) ØC(a)ÚC(b)®C(c)

b) ØC(a)®ØC(c)

Questo tipo di problema (ed il successivo) si presta ad una risoluzione di tipo formale, ma forse è meglio semplificarla, senza perdere di vista gli assiomi o le regole d’inferenza (anche derivate) utilizzate. Da a si deduce, utilizzando gli assiomi 1 e 7, ØC(a)®C(c) (e); da b ed e, utilizzando l’assioma 9, si deduce ØC(a)®C(c)ÙØC(c), da cui, dall’assioma 12, si deduce C(a) e questa è l’unica certezza.

21) Le premesse sono (utilizzando la notazione precedente):

a) C(a)®C(b)

b) C(b)®C(c)ÚØC(a)

c) ØC(d)®C(a)ÙØC(c)

d) C(d)®C(a)

Dalla premessa c si deduce, utilizzando gli assiomi 3 e 7 che ØC(d)®C(a) (e); da e e da d, utilizzando gli assiomi 8 e 13, si deduce C(a), cioè che A è colpevole; da a per MP si deduce che B è colpevole. Da b si deduce che C è colpevole; da c, utilizzando la sua contronominale, si deduce che anche D è colpevole.

Osserva che in questo ragionamento non si è mai parlato di verità in quanto ci si è mossi sempre in un ambito sintattico.

22) Da a e c si deduce che non può essere A colpevole e B innocente, quindi dev’essere ØC(a)ÚC(b). Se C è colpevole, anche B lo è (dalla b e dalla c). Se C è innocente, indipendentemente dall’innocenza o colpevolezza di A, B sarebbe colpevole (se anche A fosse innocente la colpevolezza di B si dedurrebbe da d). Quindi B è sicuramente colpevole.

Quella proposta è una tipica dimostrazione per casi che hai già trovato in altri contesti matematici (ad esempio, quando devi dimostrare delle proprietà dei numeri naturali in cui occorre fare la distinzione tra numeri pari e numeri dispari).

23) Ovviamente la carta con il dorso blu (che deve essere dispari), ma anche il quattro di quadri (che deve avere il dorso rosso) in quanto l’affermazione fatta è equivalente a “Se una carta è pari ha il dorso rosso”. E’ del tutto inutile girare le altre carte.

24) Ovviamente Gongolo.

25) La coppia di frasi da cui partire è quella detta da C: poiché la seconda è falsa (per ipotesi una delle affermazioni di D è vera), la prima è vera. La seconda affermazione di A è falsa (se fosse vera, dovrebbe essere vera anche la prima, non essendo C un rospo), quindi la prima è vera. Se la seconda affermazione di D fosse vera, le due affermazioni di B sarebbero entrambe vere. Quindi c’è solo un rospo, che è A.

26) La conclusione è: “Io evito i canguri”. Ci si può arrivare considerando nell’ordine le seguenti proposizioni:

da a-e: tutti gli animali di questa casa uccidono i topi (m)

da m ed h: tutti gli animali di questa casa sono carnivori (n)

da n e d: tutti gli animali di questa casa vanno in giro di notte (o)

da o e f: tutti gli animali che mi appartengono vanno in giro di notte (p)

da p ed l: tutti gli animali che mi appartengono amano guardare la luna (q)

da q e b: ogni animale che mi appartiene è addomesticato (r)

da r e g: i canguri non mi appartengono (s)

da s e i: io detesto i canguri (t)

da t e c: io evito i canguri.

27) Basta dire una frase indecidibile, ad esempio “Io mento”. Un’altra possibilità, più raffinata, sarebbe quella di dire: “Sarò sacrificato al Dio della menzogna”, altra frase indecidibile.

28) E’ un problema che si risolve con una logica negativa. Dovresti prendere un’arancia, quella che hai scelto e chiedere che sia tagliata l’altra: se l’altra ha la polpa rossa (e l’ha senz’altro) allora potrai affermare che la tua ha la polpa bianca senza bisogno di tagliarla e senza smascherare lo stregone. E’ interessante osservare che tu non dimostri direttamente (e non potresti farlo!) che la tua arancia ha la polpa bianca, ma fai, di fatto, una dimostrazione per assurdo (se la mia non fosse bianca, dovrebbe esserlo l’altra; poiché l’altra non è bianca, allora lo è la mia). Non stupisce quindi che qualcuno contesti questa soluzione (forse non convince neppure te) poiché, dicono, non hai effettivamente dimostrato che la tua arancia ha la polpa bianca. L’obiezione è la stessa che gli intuizionisti muovono alla logica classica, con il conseguente rifiuto delle dimostrazioni per assurdo. Questo scetticismo dimostra come, in fondo, si sia più intuizionisti di quanto forse non si pensi. In una situazione come quella descritta dal problema c’è solo da augurarsi che la tribù segua una logica rigorosamente classica.

29) Le affermazioni di A e B possono essere entrambe vere, ma non entrambe false (la negazione di A, che si formalizza con la fbf $xD(x)ÙØ"xD(x) sarebbe "xØD(x)Ú"xD(x) cioè ”o tutti i politici sono disonesti o sono tutti onesti”, proposizione che risulta vera se fosse falsa l’affermazione di B); le affermazioni di A e C possono essere entrambe false (nel caso in cui tutti i politici siano onesti), ma non entrambe vere.