Problemi curiosi

E' difficile separare la matematica dai problemi, anzi per qualcuno Ź proprio nell'esigenza dell'uomo di risolvere problemi che sta la sua origine e la sua ragion d'essere. Come del resto Ź comune associare il concetto di problema a quello di calcolo. Eppure non Ź sempre cosď; problema significa spesso strategia e comprensione delle condizioni sottese; la fase del calcolo, quando Ź possibile applicarla, Ź spesso il momento di sintesi, la sua formalizzazione.

In questa sezione verranno presentati alcuni problemi (la maggior parte classici) che hanno la caratteristica di permettere, attraverso la loro risoluzione, di "fare" della matematica, coinvolgendo spesso, al di lą dell'apparenza, questioni matematiche o logiche non banali.

Per avere la soluzione dei problemi, ti basterą cliccare sul titolo o sul numero con cui il problema Ź indicato. Buon divertimento.

Il problema dei cappelli

E' un classico problema di induzione sul finito. Supponi che tre persone siano sedute su tre sedie in fila indiana (ognuno vede solo quelli, o quello, che gli stanno davanti; le sedie sono numerate in modo progressivo e la sedia n°1 Ź occupata dall’unico che vede gli altri due, mentre la sedia n°3 da colui che non vede nessuno degli altri due). Sono portati 5 cappelli: 3 bianchi e 2 neri. Le tre persone sono bendate e sulle loro teste viene messo uno dei 5 cappelli. Successivamente sono tolte le bende e viene chiesto a ciascuno di dire il colore del proprio cappello (ognuno vede il colore di quelli, o di quello, che gli stanno davanti, ma non il proprio, ovviamente). Alla domanda il n°1 risponde: “Non lo so”; anche il n°2 risponde “Non lo so”. Il n°3, al proprio turno di risposta, risponde “Sď, so il colore del mio cappello”. Di che colore Ź il cappello del n°3? Quale ragionamento ha fatto per scoprirlo? E’ possibile stabilire il colore dei cappelli delle altre due persone? Generalizza il problema con un numero n qualunque di persone e con n cappelli bianchi e n-1 cappelli neri, stabilendo in particolare come deve mettere i cappelli il conduttore del gioco (colui cioŹ che pone i cappelli sulle teste delle persone) affinché solo il numero n individui il proprio colore.

 

Il monaco tibetano

Un monaco tibetano abita alle pendici di un monte sulla cui sommitą Ź posto un monastero in cui 

tutti i mesi il monaco va a pregare. Un’unica strada, lunga 34,6 km porta dalla casa del monaco al monastero. Il giorno adibito alla preghiera, il monaco parte sempre alle otto di mattina, percorre la strada facendo anche alcune soste per riposare o pregare; a volte corre preso dalla frenesia, ma arriva sempre puntuale alle otto di sera, ora d’apertura del monastero. Prega tutta notte e riparte per il ritorno alle otto del mattino seguente. La stanchezza e le tappe obbligate lungo il tragitto lo fanno arrivare a casa esattamente alle otto di sera, nonostante la strada in discesa.

Dimostra che esiste un punto lungo il tragitto in cui il monaco passa alla stessa ora sia all’andata sia al ritorno.

 

Un problema di aritmetica....semantica

A casa di un noto matematico, Loga Ritmo, abitante in via Verdi 36, si presenta un addetto del comune per dei rilevamenti statistici. Alla domanda sul numero dei figli e sulle loro etą il signor Ritmo risponde:

‘Ho tre figli e, caso strano, il prodotto delle loro etą coincide col numero civico della mia abitazione, mentre la somma delle loro etą Ź uguale al numero civico della casa difronte’.

L’addetto, prestandosi al gioco, dopo alcuni conti chiede nuove informazioni. Il signor Ritmo aggiunge allora, sorridendo, che per rispondere bastava sapere che il figlio maggiore ha gli occhi azzurri.

Quali sono le etą dei tre figli?”

 

PROBLEMI VARI DI LOGICA DEDUTTIVA

ESERCIZIO SVOLTO. Ci sono problemi di carattere logico che risulta in genere piuttosto arduo risolvere. La difficoltą, spesso, Ź data dall’incapacitą di tradurli in un modo operativo. In alcuni casi ciė Ź possibile attraverso la costruzione di tavole di veritą associate a particolari proposizioni. Consideriamo come esempio il seguente quesito, tratto da quella fonte pressoché inesauribile di problemi di questo tipo costituito dal libro “QUAL E’ IL TITOLO DI QUESTO LIBRO” di R. Smullyan, da cui Ź tratto il problema proposto come esercizio svolto e gli esercizi 1)-22).

Per una loro gestione, puė essere utile consultare il testo ‘Logica e ….

In un’isola ci sono due tipi di persone: i furfanti (mentono sempre) e i cavalieri (dicono sempre la veritą). Su un’isola di questo tipo corre voce che vi sia sepolto dell’oro. Voi arrivate su quest’isola e chiedete ad uno dei nativi, A, se c’Ź oro su quest’isola. Egli dą la seguente risposta:Sull’isola c’Ź oro se e solo se io sono un cavaliere’. Stabilisci:

a) si puė determinare se A Ź un cavaliere o un furfante?

b) si puė determinare se c’Ź oro sull’isola?

Indicando con O la proposizione ‘sull’isola c’Ź oro’ e con C(a) la proposizione ‘A Ź un cavaliere’, la risposta fornita si formalizza con la fbf O«C(a), la cui tavola di veritą Ź la seguente:

O

«

C(a)

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Come leggere la tavola di veritą in relazione al problema? Poiché i cavalieri dicono il vero e i furfanti mentono, il valore di veritą relativo alla formula atomica C(a) deve coincidere con quello del connettivo « (cioŹ se l’interlocutore Ź un cavaliere la proposizione dev’essere vera; viceversa se Ź un furfante) e questo succede solo in corrispondenza delle ultime due righe. Non Ź possibile stabilire quindi se stiamo parlando con un cavaliere o con un furfante, ma Ź certo che sull’isola c’Ź dell’oro.

  1) Supponiamo che, nel caso del problema precedente, tu abbia chiesto ad A: “L’affermazione che tu sei un cavaliere Ź equivalente all’affermazione che c’Ź oro su quest’isola?”. Se avesse risposto “Sď” il problema si sarebbe ridotto al precedente. Supponiamo che abbia risposto “No”. Si potrebbe allora dire se c’Ź oro sull’isola?

  2) Supponiamo che una persona, di cui non si sa se Ź un cavaliere o un furfante, faccia le seguenti affermazioni:

a) Io amo Linda;

b) Se amo Linda allora amo Kathy.

E’ un cavaliere o un furfante?

(Suggerimento: formalizzando con L la a) e con L®K la b), costruisci la tavola di veritą di L...L®K, dopo aver stabilito il connettivo da mettere al posto dei puntini)

    3) Supponiamo che qualcuno mi chieda: ”E’ proprio vero che se tu ami Betty allora ami anche Jane?”. Io rispondo: ”Se Ź vero, allora amo Betty”. Ne segue che amo Betty? Ne segue che amo Jane?  

4) Supponiamo che le due seguenti proposizioni siano vere:

a) Io amo Betty o amo Jane.

b) Se amo Betty allora amo Jane.

Ne segue necessariamente che io amo Betty?

Ne segue necessariamente che io amo Jane?

 

  5) Abbiamo due persone, A e B, ognuna delle quali Ź un cavaliere o un furfante. Supponiamo che A faccia la seguente affermazione: “Se io sono un cavaliere, allora lo Ź anche B”. Si puė determinare che cosa sono A e B?

 

  6) Qualcuno chiede ad A: ”Siete un cavaliere?”. Egli risponde: “Se sono un cavaliere, allora mi mangerė il cappello!”.

Dimostrare che A deve mangiarsi il cappello.

 

   7) A dice: “Se io sono un cavaliere, due piĚ due fa cinque”. Che cosa concludi?

 

  8) A dice: “O io sono un furfante oppure due piĚ due fa cinque”. Che cosa concludi?

 

9) Ci sono due persone A e B, cavalieri o furfanti. A dice: “Se B Ź un cavaliere, io sono un furfante”. Che cosa sono A e B?

 

 10) Supponiamo che A dica: “O io sono un furfante o B Ź un cavaliere”. Che cosa sono A e B?

 11) Supponiamo che A dica: “Io sono un furfante, ma B non lo Ź”. Che cosa sono A e B?

 

 12) Una volta, quando visitai l’isola dei cavalieri e dei furfanti, mi imbattei in due abitanti che riposavano sotto un albero. Chiesi a uno di loro: “Uno di voi due Ź un cavaliere?” Egli rispose e seppi la risposta alla mia domanda. Cos’Ź la persona a cui feci la domanda? E che cos’Ź l’altro?

 

 13) Ci sono tre persone A, B, C ognuna delle quali Ź un cavaliere o un furfante. A e B fanno le seguenti affermazioni:

A: Siamo tutti furfanti.

B: Solo uno di noi Ź un cavaliere.

Che cosa sono A, B e C?

 

 14) Supponiamo invece che A e B facciano le seguenti affermazioni:

A: Siamo tutti furfanti.

B: Solo uno di noi Ź un furfante.

Si puė determinare che cos’Ź B? Si puė determinare che cos’Ź C?

 

 15) Due individui X e Y sono processati per aver partecipato ad un furto. A e B sono testimoni e ognuno di essi  Ź un cavaliere o un furfante. I testimoni fanno le seguenti dichiarazioni:

A: Se X Ź colpevole lo Ź anche Y.

B: O X Ź innocente o Y Ź colpevole.

A e B sono necessariamente dello stesso tipo? (ambedue cavalieri o ambedue furfanti)

 

 16) Sull’isola dei furfanti e dei cavalieri, tre abitanti A,B, C sono intervistati. A e B fanno le seguenti affermazioni:

A: B Ź un cavaliere.

B: Se A Ź un cavaliere lo Ź anche C.

Si puė determinare che cosa sono A, B e C?

 

Alcuni problemi di deduzione:

 

 17) Ci sono tre ragazze: Susanna , Marzia e Diana. Supponiamo che siano vere le seguenti affermazioni:

a) Io amo almeno una delle tre ragazze.

b) Se amo Susanna ma non Diana, allora amo anche Marzia.

c) O io amo sia Diana che Marzia, o nessuna delle due.

d) Se amo Diana, allora amo anche Susanna.

Quali ragazze amo?

 

 18) Supponiamo che vi siano due isole vicine, ognuna delle quali abitata esclusivamente da cavalieri e furfanti. Ti Ź detto che in una delle due isole c’Ź un numero pari di cavalieri e che nell’altra isola essi sono in numero dispari. Ti viene anche detto che c’Ź oro nell’isola contenente un numero pari di cavalieri, ma che non c’Ź oro nell’altra isola. Scegli a caso una delle due isole e ci vai. Tutti gli abitanti sanno quanti cavalieri e quanti furfanti vivono nell’isola. Interroghi tre abitanti A, B  e C ed essi fanno le seguenti dichiarazioni:

A: Su quest’isola c’Ź un numero pari di furfanti.

B: In questo momento c’Ź un numero dispari di persone sull’isola.

C: Io sono un cavaliere se e solo se A e B sono dello stesso tipo.

Supponendo che tu non sia né un cavaliere né un furfante e che al momento tu sia l’unico visitatore dell’isola, c’Ź oro o no sull’isola?

 

 19) Un uomo era processato per furto. Il pubblico ministero e l’avvocato difensore fecero le seguenti affermazioni:

Pubblico Ministero:Se l’imputato Ź colpevole, allora ebbe un complice’.

Avvocato difensore:Non Ź vero!’

L’uomo fu condannato. Perché?

 

 20) Tre uomini A, B e C furono processati per furto. Furono accertati i seguenti fatti:

a) se A Ź innocente o B Ź colpevole, allora C Ź colpevole;

b) se A Ź innocente, allora C Ź innocente.

Si puė stabilire per ognuno dei tre se Ź colpevole o innocente?

 

 21) In questo caso sono coinvolti quattro imputati A, B, C e D. Furono accertati i seguenti fatti:  

a) se A Ź colpevole, allora B fu suo complice;

b) se B Ź colpevole, allora o C fu suo complice oppure A Ź innocente;

c) se D Ź innocente, allora A Ź colpevole e C Ź innocente;

d) se D Ź colpevole, lo Ź anche A

Chi Ź colpevole e chi innocente?

 

 22) “Che cosa riesce a dedurre da questi fatti?” chiese l’ispettore Craig al sergente McPherson.

a) se A Ź colpevole e B innocente, allora C Ź colpevole;

b) C non lavora mai da solo;

c) A non lavora mai con C;

d) nessun altro tranne A, B e C era implicato e almeno uno di essi era colpevole.

Il sergente si grattė la testa e disse : “Non molto, temo. Lei riesce a dedurre da questi fatti chi Ź innocente e chi colpevole?

“No” rispose Craig, “ma c’Ź materiale sufficiente per incriminare con certezza uno di essi”.

Di chi si puė affermare che Ź colpevole senza sbagliare?

 

 23) Supponi di avere quattro carte, due coperte e due scoperte. Sulle due scoperte c’Ź il cinque di picche e il quattro di quadri; le due coperte presentano un dorso blu ed un dorso rosso. Quante e quali carte devi girare per stabilire se l’affermazione “Se una carta ha il dorso blu Ź dispari” Ź vera?

 

 24)Uno Ź bugiardo’ disse Cucciolo.

   ‘Due sono i bugiardi’ disse Brontolo.

   ‘Tre sono i bugiardi’ disse Eolo.

   ‘Quattro sono i bugiardi’ disse Mammolo.

    ‘Cinque sono i bugiardi’ disse Pisolo.

    ‘Sei sono i bugiardi’ disse Dotto.

    ‘Sette sono i bugiardi’ disse Gongolo.

    ‘Otto sono i bugiardi’ disse Biancaneve.

Chi dice la veritą?

 

 25) Quattro persone A, B, C, e D fanno le seguenti coppie di affermazioni. Una delle due Ź vera, mentre l’altra Ź falsa:

A: “Io sono un rospo trasformato in principe. Almeno tre di noi sono rospi”

B: “Due di noi sono rospi. Io sono un principe”

C: “Io sono un principe. D mente sempre”

D: “Solo uno di noi Ź un rospo. Io sono un rospo trasformato in principe”

Ci sono rospi? Chi sono?

 

 26) Lewis Carroll, l’autore di ‘Alice nel paese delle maraviglie’, era anche un illustre logico. Quella che segue Ź una sequenza di frasi da lui inventata da cui si deve trarre una conclusione che discenda da tutte:

a) Gli unici animali di questa casa sono gatti 

(NB. Nel testo originale si parla di felini, con qualche difficoltą per la correttezza della deduzione).

b) Ogni animale che ami guardare la luna Ź addomesticato.

c) Quando io detesto un animale lo evito.

d) Nessun animale Ź carnivoro, a meno che non vada in giro di notte.

e) Nessun gatto si astiene dall’uccidere i topi.

f) Nessun animale mi appartiene eccetto quelli che sono in questa casa.

g) I canguri non sono addomesticabili.

h) Nessun animale, eccettuati i carnivori, uccide i topi.

i) Io detesto gli animali che non mi appartengono.

l) Gli animali che vanno in giro di notte amano sempre guardare la luna.

Qual Ź la conclusione?

 

 27) Ti potrą capitare, andando in paesi esotici, di imbatterti in tribĚ poco comprensive nei confronti di chi invade a loro insaputa il loro territorio. Una di queste tribĚ, che ritiene sacro il proprio habitat, per preservarlo condanna a morte chiunque lo violi, lasciando perė al condannato la scelta se essere immolato al Dio della menzogna o al Dio della veritą. Nel primo caso il malcapitato dovrą dire una bugia, nel secondo caso una veritą. Quale risposta dovresti dare per salvarti nel caso ti imbattessi in questa tribĚ?

 

 28) Nella tribĚ vicina a quella citata nel problema precedente si preferisce andare sul sicuro, pur lasciando agli usurpatori una parvenza di speranza. Ai prigionieri sono presentate due arance perfettamente uguali all’esterno, ma una con la polpa bianca, l’altra con la polpa rossa. Se il prigioniero sceglie l’arancia con la polpa rossa Ź sacrificato al Dio che protegge il territorio, se sceglie quella con la polpa bianca viene liberato. Apparentemente la vita Ź affidata al caso; ma lo stregone, appunto per non correre rischi, porta sempre al prigioniero due arance con la polpa rossa. Ora lo sai: se quindi malauguratamente invadi il territorio di quella tribĚ, come potresti fare per salvarti sicuramente? (ricorda, a scanso d’equivoci, che lo stregone Ź sacro e che mettere in discussione la sua autoritą, ad esempio tagliando le due arance per smascherarlo, Ź ancor piĚ grave che oltrepassare i loro confini).

 

 29) Durante una cena quattro amici A, B, C e D discutono, come al solito, di politica:

“Alcuni politici sono disonesti, ma non tutti” sostiene A.

“Sicuramente esiste un politico onesto” sostiene B.

“Vi garantisco che sono tutti disonesti” sostiene C.

“E tu che cosa ne pensi?” chiesero a D.

“Non ho abbastanza esperienza in fatto di politica e di politici per rispondere. So solo che delle tre affermazioni che avete fatto due possono essere entrambe vere, ma non entrambe false; viceversa due possono essere entrambe false, ma non entrambe vere”.

Sapresti dire anche tu quali sono queste due coppie di affermazioni?

 

Per concludere propongo due problemi tuttora aperti dell’aritmetica, cioŹ asserzioni di cui sino ad ora non si Ź ancora trovata o una dimostrazione o un controesempio che li confuti:

1) Ogni numero pari maggiore di 2 Ź somma di due numeri primi (congettura di Goldbach)

2) Esistono numeri perfetti dispari (un numero Ź perfetto se e solo se Ź uguale alla somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso); sino ad ora si sono trovati solo numeri perfetti pari.

 

Soluzioni

 

Il problema dei cappelli

Il n°3 ragiona in questo modo: “Se il n°1 avesse visto due cappelli neri avrebbe dedotto che il suo Ź bianco; ha quindi visto o due cappelli bianchi o un bianco ed un nero. Se il n°2 avesse visto sulla mia testa un cappello nero avrebbe dedotto che il suo Ź bianco, dall’impossibilitą del n°1 di dedurre il colore del suo cappello; poiché anche il n°2 non Ź riuscito a dedurre il colore del suo cappello, posso concludere che il mio cappello Ź bianco”. Per gli altri due, invece, non c’Ź modo di stabilire il colore del proprio cappello.

Prima di proseguire nella lettura, prova a generalizzare il problema, se non l’hai gią fatto.

Innanzi tutto una considerazione sulla disposizione dei cappelli: per poter indovinare il colore del proprio cappello (che puė essere solo bianco!) una persona deve vedere davanti a sé solo cappelli neri (prova a fare qualche esempio con una disposizione qualunque di cappelli su un numero di 4 o 5 persone), dopo di che il tipo di ragionamento Ź analogo e si riferisce al tipo di configurazione che deve vedere la k-esima persona per potersi salvare. Se quindi il conduttore del gioco (colui che pone i cappelli sulle varie teste) vuole che solo l’ultimo possa stabilire il colore del suo cappello non deve mettere, da un certo punto in poi, solo cappelli neri.

Il tipo di ragionamento proposto sfrutta in fondo un’induzione sul finito e proprio per questo un’induzione particolare: l’ultimo della fila arriva a stabilire il colore del proprio cappello dal fatto che ciascuno di quelli che lo precedono non riesce a farlo. In sostanza la proprietą “Non conosco il colore del mio cappello” che vale per la prima persona della successione e se vale per la persona k-esima vale anche per la persona k+1-esima, vale per tutte tranne che per l’ultima persona della fila. D’altra parte il fatto di avere un numero finito di elementi impedisce che proprio tutti godano della stessa proprietą (se la fila fosse formata da infinite persone nessuno riuscirebbe a dedurre il colore del proprio cappello), rendendo anomalo proprio l’ultimo, l’unico cioŹ che non ha un successore che possa godere della sua stessa proprietą. In questo caso l’induzione sul finito presenta un’anomalia rispetto a quella ”normale”, se si pensa al principio d’induzione come ad una fila di buste ciascuna delle quali contenente l’istruzione “Apri la busta successiva, leggine l’ordine ed eseguilo” (il paragone Ź di Hugo Steinhaus). L’elemento senza successore non puė avere questa possibilitą per cui, per l’ultimo elemento l’istruzione (o se si vuole la proprietą) deve cambiare.

Un’ultima osservazione sul principio d’induzione. Al di lą di questa anomalie, Ź possibile fare anche induzioni sul finito, quando la verifica ‘diretta’ di una proprietą (possibile, trattandosi di un numero limitato di elementi) risulta comunque scomoda o necessita di una generalizzazione. Questo inoltre farebbe pensare ad un contesto piĚ “reale”, visto che la realtą Ź appunto “al finito”. Attento perė a non confondere l’induzione matematica, frutto di un ragionamento (come nel caso del problema dei cappelli), con un’induzione empirica, frutto dell’osservazione di un’esperienza la cui ripetitivitą  per un certo numero di prove non garantisce, in assoluto, il successo all’ennesima prova. Per chiarirci, vediamo due esempi. L’affermazione “Il 10 gennaio 2100 sorgerą il sole” ha un’alta probabilitą di veritą, pensando al gran numero di albe passate che possano giustificare la veritą di tale affermazione, anche se nulla toglie che una cometa gigante (come vuole la mitologia di Immanuel Velikovsky) faccia fermare la rotazione della Terra e rimanere il Sole ancora su Giberon. PiĚ esplicita, sui rischi dell’induzione empirica, Ź questa storiella: un tacchino osservė che tutte le mattine un uomo gli portava il mangime. Cambiė la stagione e l’uomo continuė a portargli il mangime. Un giorno nevicė e ciė nonostante l’uomo gli portė il mangime. Dopo varie prove di questo tipo in diverse condizioni di tempo in cui l’uomo gli aveva portato il mangime, il tacchino concluse che l’uomo gli avrebbe sempre portato il mangime. Il giorno dopo l’uomo lo prese e gli tirė il collo.

Queste considerazioni non devono perė far rigettare, in assoluto, un metodo (quello appunto dell’induzione empirica) la cui utilitą e i cui risultati hanno ampiamente confermato, anche in campo matematico, la legittimitą di certe applicazioni: pensa ad esempio ai processi di estrapolazione tipici di certe indagini di mercato o di certe analisi statistiche, in cui, pur avendo a che fare con un insieme finito, problemi di costi impediscono un’indagine nominale. Tutto questo per dire dell’esigenza, come in tutte le cose, di guardare agli strumenti della matematica in modo critico quando li si applica, valutandone le potenzialitą ed i limiti per evitare di far ‘loro dire’ cose che non le attengono.

 

Il problema del monaco tibetano.

I dati veramente essenziali per la risoluzione del problema sono i due orari, di partenza e d’arrivo; o meglio Ź essenziale che tali orari, sia per l’andata sia per il ritorno, coincidano. Una soluzione immediata si ottiene pensando che i monaci siano due, come se si sovrapponessero due filmati, di cui uno parte alle otto del mattino da casa e l’altro alla stessa ora dal monastero: Ź ovvio che, prima o poi devono incontrarsi se alle otto di sera devono essere nel posto da cui era partito l’altro. Un’altra soluzione, piĚ formale, si ottiene considerando le funzioni s=f(t) e s=g(t) che forniscono, in funzione del tempo, la distanza del monaco ad esempio da casa sua rispettivamente all’andata e al ritorno. Tali funzioni sono definite sull’intervallo [8,20] e sono ivi continue. Inoltre f(8)=0, f(20)=34,6 km, g(8)=34,6 km e g(20)=0. Se consideriamo la funzione y=f(t)-g(t), puoi osservare che y(8)<0, mentre y(20)>0; per il teorema degli zeri (non costruttivo!) esiste un valore toŽ]8,20[ tale che f(to)-g(to)=0, cioŹ f(to)=g(to). Tale valore, perė non Ź determinabile.

 

Il problema del signor Loga Ritmo.

Come accennato nel testo, in questo caso l’ambito semantico fornisce quelle condizioni che sembrano mancare per risolvere il problema. Innanzi tutto determiniamo il dominio della soluzione, individuato dalle terne di numeri che fattorizzano 36. Queste sono otto:

(1,1,36), (1,2,18), (1,3,12), (1,4,9), (1,6,6), (2,2,9), (2,3,6), (3,3,4).

Poiché i numeri civici su lati opposti di una via sono di diversa paritą, la somma delle etą dei figli Ź dispari e solo quattro tra le fattorizzazioni precedenti Ź formata da numeri la cui somma sia dispari: (1,2,18), (2,3,6), (1,6,6) e (2,2,9). Il fatto che ci sia un figlio maggiore esclude la terna (1,6,6), mentre l’asserzione che tale informazione basta esclude le terne (1,2,18) e (2,3,6). Quindi la soluzione Ź fornita dalla terna (2,2,9).

Osserva inoltre che anche l’informazione sulla somma delle etą dispari poteva essere omessa: bastava affermare che, nota tale somma all’addetto (ad esempio, Loga Ritmo avrebbe potuto dire “La somma delle loro etą coincide con la data, giorno del mese, odierna”), con l’informazione sul figlio maggiore era riuscito a trovare la soluzione. Se tale somma non fosse stata dispari, sarebbe stato impossibile, con i dati forniti, trovare l’etą dei tre figli.

 

Problemi Vari di logica deduttiva

1) In questo caso occorre confrontare la terza colonna con la seconda negata. Anche in questo caso non si riesce a stabilire con chi si parla, ma si scopre che non c’Ź oro sull’isola.

2) Costruendo la tavola di veritą della congiunzione delle due affermazioni ci si accorge che l’unico caso possibile Ź che siano entrambe vere, per cui l’interlocutore Ź un cavaliere.

3) Costruisci la tavola di veritą della fbf (B®J)®B (con ovvio significato dei simboli) e considera le (due) righe in cui la fbf risulta vera. In entrambe queste righe, B risulta vera, mentre J risulta una volta vera ed una falsa. Quindi amo Betty, mentre nulla si puė dire su Jane.

4) Costruisci la tavola di veritą della fbf (BÚJ)Ű(B®J) e considera le righe in cui la fbf risulta vera. In entrambi i casi J risulta vera, mentre B una volta vera ed una falsa. Quindi amo Jane mentre nulla si puė dire di Betty.

5) Considera la fbf C(a)®C(b) dove C(a) sta per ‘A Ź un cavaliere’ e C(b) per ‘B Ź un cavaliere’ e costruiscine la tavola di veritą. Se A Ź un cavaliere, la fbf deve essere vera quando C(a) Ź vera, mentre deve essere falsa quando C(a) Ź falsa; questo secondo caso non si verifica mai, mentre per il primo si ha solo un’opportunitą. Quindi A e B sono cavalieri.

6) Analogo al precedente; tutte le affermazioni che cominciano con “Se sono un cavaliere...” sono fatte effettivamente da un cavaliere e sono perciė vere, come pure il conseguente.

7) Concludi che l’autore ha preso un’insolazione: una tale affermazione non potrą mai essere fatta per quanto detto nella risposta precedente.

8) E’ equivalente a quella dell’esercizio precedente.

9) Indicato con C(a) ‘io (A) sono un cavaliere’, considera la tavola di veritą della fbf C(b)®ĮC(a) e cerca le righe in cui la fbf e C(a) sono entrambi veri o entrambi falsi. Si verifica solo il primo caso in corrispondenza del quale si osserva che B Ź un furfante (C(b) Ź falsa).

10) Equivalente alla frase dell’esercizio 5.

11) Costruisci la tavola di veritą della fbf ĮC(a)ŰC(b); devono coincidere i valori di veritą della fbf con quelli di C(a). L’unico caso che si presenta porta a concludere che A e B sono furfanti.

12) Costruisci la tavola di veritą di C(a)ÚC(b). Supponiamo che la domanda sia stata rivolta ad A (Ź indifferente). Se A risponde sď puė essere un cavaliere (e B cavaliere o furfante) o un furfante (e B furfante). Queste eventualitą corrispondono a tre righe della tavola di veritą e comportano possibilitą che impediscono di conoscere la risposta alla domanda. Poiché tale risposta Ź nota, A deve aver risposto ‘No’ e quindi A Ź un furfante e B un cavaliere (quarto caso della tavola di veritą).

13) A Ź un furfante (un cavaliere non potrebbe mai fare un’affermazione cosď) e quindi non tutti sono furfanti. Se B fosse un furfante, allora sarebbero tutti furfanti (cosa esclusa in precedenza) o ci sarebbero due cavalieri (non tre, poiché A Ź un furfante, come detto). Ma allora B dovrebbe essere un cavaliere, contro l’ipotesi che sia un furfante. Quindi B Ź un cavaliere (l’unico) e C un furfante.

14) A Ź un furfante, come prima. B potrebbe essere un cavaliere o un furfante (verificalo!), ma C Ź senz’altro cavaliere (in entrambi i casi).

15) Le due frasi sono equivalenti, quindi A e B sono dello stesso tipo.

16) Costruisci la tavola di veritą di B: C(a)®C(c) corrispondente all’affermazione di B. Occorre cercare una riga in cui C(a) e B assumono lo stesso valore (se A Ź un furfante anche B lo Ź). L’unico caso Ź quello in cui C(a) Ź vero e B Ź vera, per cui sono tutti e tre cavalieri.

17) Amo tutte e tre le ragazze. Infatti se non amassi Diana non amerei neppure Marzia (c) e quindi amerei Susanna (a). Ma se amo Susanna e non amo Diana allora amerei Marzia (b) e questo Ź assurdo. Quindi amo sia Diana che Marzia e per la premessa (d) amo anche Susanna.

Questa, al di lą delle apparenze, non Ź una dimostrazione per assurdo. il presupposto da cui parte Ź che se ho una premessa disgiuntiva si deve verificare una delle due condizioni (in questo caso non Ź possibile che si verifichino entrambe): se non Ź possibile che se ne verifichi una, deve verificarsi l’altra. Fatta in modo formale la dimostrazione risulterebbe piuttosto complessa.

18) Come visto in precedenza tutte le frasi del tipo “se io sono un cavaliere...”sono vere e dette da cavalieri quindi C Ź un cavaliere. A e B sono quindi o entrambi cavalieri o entrambi furfanti. Nell’affermazione di B, qualunque cosa lui sia, occorre tenere presente che tra le persone sull’isola ci sei anche tu (che non sei né cavaliere né furfante). Se B Ź un furfante i cavalieri piĚ i furfanti sono in numero dispari sull’isola (mente, quindi le persone presenti sono in numero pari; tolto tu ne rimangono un numero dispari); anche A mente, quindi i furfanti sono in numero dispari, per cui i cavalieri sono in numero pari. Alla stessa conclusione si perviene anche nel caso si suppongano A e B cavalieri (prova!) per cui sull’isola c’Ź dell’oro.

19) La negazione dell’affermazione del Pubblico Ministero Ź equivalente ad affermare che l’imputato Ź colpevole e non aveva complici. L’avvocato difensore, in seguito, dovette cambiare mestiere per mancanza di clienti.

20) Le premesse sono (indicando con C(x) la proposizione ‘x Ź colpevole’):

a) ĮC(a)ÚC(b)®C(c)

b) ĮC(a)®ĮC(c)

Questo tipo di problema (ed il successivo) si presta ad una risoluzione di tipo formale, ma forse Ź meglio semplificarla, senza perdere di vista gli assiomi o le regole d’inferenza (anche derivate) utilizzate. Da a si deduce, utilizzando gli assiomi 1 e 7, ĮC(a)®C(c) (e); da b ed e, utilizzando l’assioma 9, si deduce ĮC(a)®C(c)ŰĮC(c), da cui, dall’assioma 12, si deduce C(a) e questa Ź l’unica certezza.

21) Le premesse sono (utilizzando la notazione precedente):

a) C(a)®C(b)

b) C(b)®C(c)ÚĮC(a)

c) ĮC(d)®C(a)ŰĮC(c)

d) C(d)®C(a)

Dalla premessa c si deduce, utilizzando gli assiomi 3 e 7 che ĮC(d)®C(a) (e); da e e da d, utilizzando gli assiomi 8 e 13, si deduce C(a), cioŹ che A Ź colpevole; da a per MP si deduce che B Ź colpevole. Da b si deduce che C Ź colpevole; da c, utilizzando la sua contronominale, si deduce che anche D Ź colpevole.

Osserva che in questo ragionamento non si Ź mai parlato di veritą in quanto ci si Ź mossi sempre in un ambito sintattico.

22) Da a e c si deduce che non puė essere A colpevole e B innocente, quindi dev’essere ĮC(a)ÚC(b). Se C Ź colpevole, anche B lo Ź (dalla b e dalla c). Se C Ź innocente, indipendentemente dall’innocenza o colpevolezza di A, B sarebbe colpevole (se anche A fosse innocente la colpevolezza di B si dedurrebbe da d). Quindi B Ź sicuramente colpevole.

Quella proposta Ź una tipica dimostrazione per casi che hai gią trovato in altri contesti matematici (ad esempio, quando devi dimostrare delle proprietą dei numeri naturali in cui occorre fare la distinzione tra numeri pari e numeri dispari).

23) Ovviamente la carta con il dorso blu (che deve essere dispari), ma anche il quattro di quadri (che deve avere il dorso rosso) in quanto l’affermazione fatta Ź equivalente a “Se una carta Ź pari ha il dorso rosso”. E’ del tutto inutile girare le altre carte.

24) Ovviamente Gongolo.

25) La coppia di frasi da cui partire Ź quella detta da C: poiché la seconda Ź falsa (per ipotesi una delle affermazioni di D Ź vera), la prima Ź vera. La seconda affermazione di A Ź falsa (se fosse vera, dovrebbe essere vera anche la prima, non essendo C un rospo), quindi la prima Ź vera. Se la seconda affermazione di D fosse vera, le due affermazioni di B sarebbero entrambe vere. Quindi c’Ź solo un rospo, che Ź A.

26) La conclusione Ź: “Io evito i canguri”. Ci si puė arrivare considerando nell’ordine le seguenti proposizioni:

da a-e: tutti gli animali di questa casa uccidono i topi (m)

da m ed h: tutti gli animali di questa casa sono carnivori (n)

da n e d: tutti gli animali di questa casa vanno in giro di notte (o)

da o e f: tutti gli animali che mi appartengono vanno in giro di notte (p)

da p ed l: tutti gli animali che mi appartengono amano guardare la luna (q)

da q e b: ogni animale che mi appartiene Ź addomesticato (r)

da r e g: i canguri non mi appartengono (s)

da s e i: io detesto i canguri (t)

da t e c: io evito i canguri.

 

27) Basta dire una frase indecidibile, ad esempio “Io mento”. Un’altra possibilitą, piĚ raffinata, sarebbe quella di dire: “Sarė sacrificato al Dio della menzogna”, altra frase indecidibile.

28) E’ un problema che si risolve con una logica negativa. Dovresti prendere un’arancia, quella che hai scelto e chiedere che sia tagliata l’altra: se l’altra ha la polpa rossa (e l’ha senz’altro) allora potrai affermare che la tua ha la polpa bianca senza bisogno di tagliarla e senza smascherare lo stregone. E’ interessante osservare che tu non dimostri direttamente (e non potresti farlo!) che la tua arancia ha la polpa bianca, ma fai, di fatto, una dimostrazione per assurdo (se la mia non fosse bianca, dovrebbe esserlo l’altra; poiché l’altra non Ź bianca, allora lo Ź la mia). Non stupisce quindi che qualcuno contesti questa soluzione (forse non convince neppure te) poiché, dicono, non hai effettivamente dimostrato che la tua arancia ha la polpa bianca. L’obiezione Ź la stessa che gli intuizionisti muovono alla logica classica, con il conseguente rifiuto delle dimostrazioni per assurdo. Questo scetticismo dimostra come, in fondo, si sia piĚ intuizionisti di quanto forse non si pensi. In una situazione come quella descritta dal problema c’Ź solo da augurarsi che la tribĚ segua una logica rigorosamente classica.

29) Le affermazioni di A e B possono essere entrambe vere, ma non entrambe false (la negazione di A, che si formalizza con la fbf $xD(x)ŰĮ"xD(x) sarebbe "xĮD(x)Ú"xD(x) cioŹ ”o tutti i politici sono disonesti o sono tutti onesti”, proposizione che risulta vera se fosse falsa l’affermazione di B); le affermazioni di A e C possono essere entrambe false (nel caso in cui tutti i politici siano onesti), ma non entrambe vere.